博弈论 第1节 导论——五个入门结论

耶鲁博弈论 第1节 导论——五个入门结论

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一、开胃菜——成绩博弈

开场游戏：你和你的同桌在完全不知情的情况下，填写自己的成绩 $α$ 和 $β$，然后老师将所有同学随机分成两两一组，你的成绩将按照以下情况给出：
(1)若你填写 $α$ 你的对手填写 $β$，你将得到 $A$ 等级，你的对手将得到 $C$ 等级
(2)若你填写 $α$ 你的对手填写 $α$，你将得到 $B-$ 等级，你的对手将得到 $B-$ 等级
(3)若你填写 $β$ 你的对手填写 $β$，你将得到 $B+$ 等级，你的对手将得到 $B+$ 等级
(4)若你填写 $β$ 你的对手填写 $α$，你将得到 $C$ 等级，你的对手将得到 $A$ 等级

课堂上老师询问了几个选 $α$ 的同学的理由，第一个人觉得对方也会填 $α$，所以我要填 $α$；第二个人的理由是，填 $α$ 的结果总要优于填 $β$.
而选择 $β$ 的同学觉得选择 $β$ 成绩波动较小，（会从B+波动到C）（实际上选择 $α$ 波动和 $β$ 一样，从A到B-）；另一个觉得一开始大家可以合作，都填 $β$ 获得最大利益。

目前我们涉及到博弈的行为、策略、参与人，但是忽略了一个博弈的必备要素：动机(objectives).

下面我们用效用矩阵表示收益（Possible Payoffs）：

可能情况	Pair
Me	α,α	α,β
	β,α	β,β

效用	Pair
Me	0, 0	3,-1
	-1,3	1, 1

前提是所有人只在乎自己的成绩，并且努力想取得更高的成绩。这里显然能够看出，不管对手选择什么，选择 $α$ 的效益始终大于 $β$ $（0 > -1, 3 > 1）$

我们称这种始终不会取得劣势的选择称作严格优势策略

因此得到第一个结论：1.不要选择严格劣势策略，原因很简单，the payoffs are lower.
但似乎这样的结论有些过于简单而不值得讨论。

但是如若别人也是这样想，选择了 $β$，那么你们都将获得 1 的效用，而 1 是 大于 0 的，因此选择 $β$ 是更好的选择，这似乎与第一个结论有些矛盾。

实际上这种说法有两个问题，其一，我的想法实际上是无法影响到你的想法，也就是我的选择无法左右你的选择，其二，建立在第一个假设上，若我的想法能够左右你的想法，那么为了争取最大的效用，我应该选择 $α$ 而不是 $β$

由此得到第二个结论：2.理性的选择（严格优势策略）往往使得结果变得糟糕
协商难以达成的原因不是缺少沟通，而是没有强制力

（囚徒困境，三个和尚没水吃，企业价格战）

换种情况，若效用矩阵变成下面这样：

效用	Pair
Me	0, 0	-1,-1
	-3, 3	1, 1

若我选择 $α$，而对手选择了 $β$，但是我感到愧疚，良心受到谴责，减去我的负罪感的负效用后只得到了 -1（把他称作负罪感）。相反我选择 $β$，而对手选择了 $α$，觉得不服气只得到了 C，因此下次要好好学习，表现出了雄心壮志，并且这个成绩是因为对手选了 $α$ 所致，在道义上的谴责又减去了一些效用，最终变成了 -3.

选 $α$ 的人觉得这样可以最小化损失，而选 $β$ 的人觉得这样有机会获得最大效用 1.

当对方选择 $α$ 时，我应该选择 $α$ 才能获得最大效用，相反，当对方选择 $β$ 时，我也应该选择 $β$ 才能得到最大效用。因此，这种情况下没有严格优势策略，而这也仅仅是改变了博弈的收益，并没有改变博弈的结构和结果，但是我们的目的被改变了。第一种情况我们显然应该选择 $α$，而第二种情况我们却不知道该选什么，这种博弈叫 协和谬误

由此得出第三个结论：3.汝欲得之，必先知之
永远选择优势策略，损失小，如果对手有优势策略应以此作为选择策略的指导

第三种情况，我们更改对手每种情况的效用，如下：

效用	Pair
Me	0, 0	3,-3
	-1, -1	1, 1

显然，$α$ 是严格优势策略，选择 $α$ 更好。

第四种情况，仅仅修改我自己不同情况下的效用，如下：

效用	Pair
Me	0, 0	-1,-1
	-3, 3	1, 1

这种情况下，对我自己而言，没有了所谓的严格优势策略，但是对于对手而言，$α$ 是严格优势策略，他必定会选择 $α$，因此我只能选择 $α$ 来获得最大效用。

因此得到第四个结论：4.站在对方的立场上去分析对方会怎么做

综上可以得到第五个结论： 5.人都是自私的

填数游戏

每个人写下 $1-100$ 中随机一个数，最终离平均数的 $\frac{2}{3}$ 最接近的人获得奖励

解析请看下节…

【老师每节课开奖是为了不让学生逃课吗？（笑）】